NÚMERO D'OR

       Erodoto deia que les en una piràmide pasaba el següent:

-El quadrat de l'alçada total era exactament igual a l'àrea d'una de les seues cares.


        L'alçada d'una cara de la piràmide dividida entre la meitat de l'àrea de la base és igual a 1'618033988.... és a dir el número d'or, Φ.

 a
 _    = 1'618033988....

l/2

• El cocient entre l'àrea total i l'àrea lateral de la piràmide és també Φ.
• El cocient entre el àrea lateral i l'àrea de la base = Φ.

Com construir rectangles auris:

  1. Dibuixem un quadrat

  2. Des del punt mitjà d'un dels costats del quadrat fins al vértex superior del quadrat, traçem un arc que acabe on es trobe amb la prolongació del costat inferior del quadrat.
Aquest serà el primer vértex del rectangle.

  3. Els altres els obtenim traçant les paral·leles als costats del quadrat.

Ja tenim un rectangle auri. Per a obtenir un altre hi ha que fer un quadrat abaix del rectangle, després a la esquerra o a la dreta, i així successivamnet.

Si unim amb arcs de circumferència els vértex consecutius dels quadrats, obtindrem una espiral de
Durero.





També es troba aquesta espiral en...


           .....




    Podem dividir una circumferéncia en dos angles de tal manera que la raó entre l'angle menor i l'angle major siga exactament el número d'or Φ.

    Si agafem un ou qualsevol i dividim la seva alçada màxima entre la seva anchura màxima sempre obtindrem un número que serà l'arreu quadrada de Φ (1'27) i el número d'or (1'61)

FABONACCI I NATURA

Fibonacci i natura


Fibonacci, Leonardo de Pisa va nàixer al 1170 i es va morir al 1250. Ell va descobrir la següent succeció i assegurava que:


 El primer nombre d'aquesta succeció és 0, el següent és 1. El següent és la suma dels dos anteriors, és a dir 0+1=1 i així successivament:


a1     a2     a3     a4     a5     a6     a7     a8     a9     a10     a11     a12     a13      a14     a15     a16   a17    a18     a19       a20      

 1       1      2       3      5      8      13     21     34     55       89     144      233      377     610    987  1597   2584   4181    6765



 
Observacions:


*Un terme de cada tres és parell.

*Un terme de cada quatre és múltiple de 3.

*Un terme de cada cinc és múltiple de 5, etc.

*Cada terme es igual a la suma dels dos anteriors, per tant an=an-1+an-2

*La suma dels term4es imparells és: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n

*La suma dels termes parells és: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1-1

*Els nombres consecutius de Fibonacci son primers entre si.





Fibonacci també es va adonar que si agafem un rectangle i la meitat d'un pentàgon és a dir el triangle, i els dividim en rectangles i triangles, més i més petits, en els dos casos obtindrem el mateix la següent espiral:

     

SISTEMES DE NUMERACIÓ

NUMERACIÓ MAIA

La civilització maia, a l'Amèrica precolombina, utilitzava un sistema de numeració vigesimal (de base 20).

El sistema és additiu, se sumen els valors dels símbols per conèixer el nombre. El punt no es repeteix més de 4 vegades. Si es necessiten 5 punts, llavors se substituïxen per una barra. La barra no apareix més de 3 vegades.

Per exemple, el nombre dinou (19) s'escrivia com quatre punts en una fila horitzontal sobre tres barres horitzontals posades una sobre l'altra.

Els nombres superiors a 19 eren escrits verticalment en potències de vint.

Per exemple, trenta-dos havia de ser escrit com un punt sobre dos punts que a la vegada estaven sobre dues barres. El primer punt representa "un vint" o "1×20", mentre els dos punts addicionals i les dues barres representen el valor dotze.
(1×20) + 12 = 32



El nombres superior a 400 necessiten d'un tercer dígit. Per exemple, el nombre 429 havia de ser escrit com un punt sobre un punt sobre quatre punts sobre una barra.

(1×400) + (1×20) + 9 = 429